Manfred H. Kunz.

Ableitung der Rydberg-Formel ---   Hier

aus Wikipedia (Juli-Sept. 2009)

Eine nicht empirische Rydberg-Formel

Die etwa um 1888 entstandene Rydberg-Formel hat sich zwar als praktisch erwiesen, sie besitzt aber nach wie vor einen empirischen Charakter. Es zeigt sich jedoch seit kurzem, dass für die für die Nachbildung der atomaren Emission oder Absorption auch ein anderer Mechanismus geeignet ist, nämlich der schon seit 300 Jahren berechenbare Stoß zweier Kugeln. Als Stoß-Geschwindigkeit V = α * c dient die von Arnold Sommerfeld vorgeschlagene Interpretation der Feinstrukturkonstante α als ein spezieller Geschwindigkeitswert im H-Atom. Es werden nur ganze Teilverhältnisse von V zugelassen, was de facto die Quantenbedingung beim besagten Modell darstellt. Die relativistische Massenzunahme des Elektrons bzw. der reduzierten Masse wird von Quasipartikeln dargestellt. Der Zweiteilchenstoß entspricht einer Kollision zweier Quasipartikel, die einmal die Bindung und einmal das Photon repräsentieren. Das erste Ergebnis des Modells ist neben der Rydberg-Energie die Rydbergkonstante mit größter Genauigkeit. Aus dem Impulswerten des Modells folgen weitere Ergebnisse, wie Feinstruktur, Linienaufspaltung und der Bohrsche Radius. Zunächst geht es um die Herleitung einer mechanischen Rydberg-Formel und einer mechanischen Rydberg-Konstante, die dann vom Mechanischen zum Atomaren und zum Relativistischen übergeleitet wird. Die Entdeckungen von Balmer und Rydberg lassen sich sowohl mit dem elastischen als auch dem unelastischen Stoß erklären. Zuerst wird gezeigt, wie der klassische zentrale elastische Stoß mit einem ruhenden Teilchen zu einer mechanischen Rydberg-Formel führt.

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Herleitung der Rydberg-Formel aus dem Zweiteilchenstoß


Der klassische zentrale elastische Stoß mit einem ruhenden Teilchen ist zur Herleitung einer mechanischen Rydberg-Formel geeignet. Die als Lehrmittel üblichen Geräte (Stoßpendel, Luftkissenbahn als Stoßschiene, Billard) können dies veranschaulichen. Das ruhende Teilchen mit der Masse M stellt das Stoßziel (Target) dar. Das ruhende Teilchen besitzt keine Energie e, keinen Impuls p und keine Geschwindigkeit . Diese Größen sind nur für das in Bewegung versetzte Teilchen nach dem Stoß von Interesse und erhalten den Index T. Das stoßende Teilchen mit der Masse m erhält vor dem Stoß den Index K. Nach dem Stoß ist die Masse m unverändert, alle anderen Werte sind verändert und erhalten den Index N, erinnernd an nachher.

 

Beim Stoß auf einer Stoßgeraden unterscheiden sich die nicht vektoriellen Quantenzahlen k und n von den entsprechenden Vektoren nur durch das Vorzeichen. Dieses muss der Quantenzahl provisorisch zugeordnet werden, entweder − n oder + n. Bei stets positiv gehaltenem Wert besagt ein negativer Wert , dass ein bestimmtes Massenverhältnis M > m vorliegt. Da M stets die Masse des Targets verkörpert, wird also bei großer Target-Masse die kleine Masse zurückgeworfen und quasi reflektiert, d.h. ist negativ. Vorerst werden die klassischen kinetischen Energien (1), (2) und (3) gebildet, die den Energieerhaltungssatz (4) wegen des verlustlosen elastischen Stoßes befolgen.

Ausgehend von (4) wird in (4a) die Gleichung durch die Startenergie geteilt, um auf der linken Seite die Zahl eins zu erzeugen. In (5) wird das Energieverhältnis beim ersten Ausdruck nach dem Gleichheitszeichen dahingehend verändert, dass die Masse m gekürzt wird. Dabei bleibt ein Verhältnis der Quadrate der Geschwindigkeitsvektoren übrig. Diese können durch das Verhältnis der Zahlen n2 und k2 ersetzt werden. Die Trennung des Verhältnisses n2 / k2 in die separaten Größen n und k gemäß (8) und (9) ist verbunden mit einem Faktor f, der die Maßzahl und die physikalische Maßeinheit berücksichtigt. Beim Wechsel von (6) nach (7) entstehen auch Einzelgeschwindigkeiten, wo f eine Rolle spielt. Ein Vergleich von (6) mit der üblichen Rydberg-Formel zeigt aber, dass der Faktor wegen f = 1 hier wegfallen kann, welches vorläufig übernommen wird.

Die Gleichungen (6) und (7) sind gewissermaßen mechanische Rydberg-Formeln und die Quantenzahlen k und n stellen Geschwindigkeiten dar, was ungewohnt ist. Es geht um das Vorzeichen von mit der Maßgabe, dass die Startgeschwindigkeit stets positiv ist. Der Ausdruck eK erhält eine bildhafte Erklärung als Startenergie. Sie ist die einzige kinetische Energie vor dem Stoß, da der andere Stoßpartner ruht. Die Startenergie ist nicht zu verwechseln mit der atomaren Grenzenergie, die ebenfalls mechanisch realisiert werden kann, aber die Interpretation bei Stoßexperimenten ist anders. Bei einem Grenzübergang der Lymanserie treffen nach (15) zwei Quasipartikel mit gleichen Massen aufeinander. Bei einem Übergang von beispielsweise -n=99, k=100 sind dagegen die Massen sehr unterschiedlich. Im Gegensatz zur empirischen Rydberg-Formel verbergen sich hinter dem Mechanismus noch anderen Stoßparameter wie z.B. der Impuls. Die bereits erwähnte Eigenart (15) der mechanischen Rydberg-Formel wird nachfolgend abgeleitet.


Bemerkung: Bis zur Gleichung (14) dürfte es keine Einwände geben, da es sich um eine mechanische Selbstverständlichkeit handelt. Ungewöhnlich ist allerdings, dass in der mechanischen Rydbergformel (6) oder (7) die Geschwindigkeit n bzw. vN  nicht am Anfang, sondern erst nach dem Stoß vorliegt, doch mittels (14) gelingt es, die erforderlichen Anfangs-Stoßparameter M und m zu ermitteln. An der Schreibweise der Gleichung (16) entzünden sich allerdings die Gemüter. Wo bleiben die physikalischen Größen und die Maßeinheiten? Zunächst ist die Wahl für Masse und Geschwindigkeit frei, also beispielsweise kg und m/s. Später wird sich zeigen, dass diese Freiheit eingeschränkt werden muß.       

Die Differenz der Vektorquadrate in (10) wird in die binomische Form (11) umgewandelt. Aus Zeile (11) ergibt sich Gleichung (12), die nach zweimaliger Substitution von (13) zum Resultat (14) führt, wobei Gleichung (13) ein Erhaltungssatz der Geschwindigkeiten ist. Aus (14) werden zwei Gleichungen isoliert (15). Diese sind auch erforderlich, wenn man aus dem unelastischen Stoß die Rydberg-Formel ableiten will, wie anschließend ausgeführt. Die Relationen zwischen den Massen und den ± Kombinationen der Geschwindigkeiten stellen eine Kopplung der Stoßparameter dar, die bei allen relevanten Stößen auftritt. Unabhängig davon, ob Quantenzahlen oder Geschwindigkeiten vorliegen, wird für n mitunter der absolute Wert verwendet, um der gewohnten Rydberg-Formel zu entsprechen. Dass der Faktor f den Wert 1 annehmen kann, zeigt die mechanische Rydberg-Formel. Der Impuls verursacht die vorzeichenbehafteten Quantenzahlen, denn trotz gleicher reduzierter und normierter Energie für jeden spektralen Wert differieren beide Impulse mehr oder weniger stark. Für beide Stoßtypen und für den Übergang ±n nach k lauten die beiden zusammengefassten Impulsgleichungen in der Schreibweise Masse mal Geschwindigkeit wie folgt in Gleichung (16):

(16)


Diese normierten Impulsgleichungen werden aus der reduzierten Energiegleichung gewonnen. Im Einzelnen wird die Kubikwurzel aus eK gebildet und jede Masse und jede Geschwindigkeit mit diesem Wert dividiert, wodurch die Impulsgleichung (16) im gleichen Maße verkleinert wird wie die Energiegleichung.

Die Ausführung des Stoßes mit einem anfangs ruhenden Teilchen repräsentiert eine Emission, bei der das ruhende Teilchen dem späteren Photon zugeordnet wird. Dies ist auch bei dem plastischen, unelastischen Stoß der Fall, allerdings äußert sich die Energie des Photons hier als Verlustenergie. Was die Massen der beiden Stoßpartner anbelangt, so gilt das oben Gesagte. Für das Beispiel der Balmerlinie Hγ braucht man die oben gewonnenen Relationen m ≈(k-n)=3 und M ≈(k+n)=7. Die Verlustenergie eloss ist unabhängig davon, ob m oder M vorher ruht. Der Stoßparameter k wird so gewählt, dass er positiv ist. Dann ist auch n positiv, denn ein Minuswert ist physikalisch nicht möglich. Die Verlustenergie ist eine veränderte Energieform, die nicht auf eine Stoßgerade zurückgeführt werden kann. Diese ungewöhnliche, atomar relativistische Masse kann man mit dem Einfang oder mit der Abstrahlung eines Photons identifizieren, wobei allerdings axiomatisch ein reversibler plastischer Stoß vorausgesetzt wird. Es wird auf die Reduktion verzichtet und stattdessen eine Festlegung über die Massensumme (17) getroffen. Damit genügt allein das Produkt der Massen für reduzierte Masse, wie aus (18) ersichtlich. Die reduzierte und normierte Startgeschwindigkeit hat den Wert 1/n. Dies dient als Relativgeschwindigkeit vrel in der Formel für die Verlustenergie (19).

 

Die Balmer-Linie Hγ mit den Massen M=28/5 und m=12/5 sowie mit einer reduzierte Masse von 42/25 wird nachfolgend auf anderem Wege mit der Endgeschwindigkeit u berechnet. Die Startgeschwindigkeit ist vrel = v = 1 / 2. Der Startimpuls p besteht aus m undv und beträgt 12/10. Aus dem Impulssatz berechnet manu = p / (m + M) = 12 / 80. Die Startenergie ergibt sich mithin zu estart = 1/2 m v2 =3/10. Die kinetische Energie nach dem Stoß lautet eend = 1/2 (m+M) =144/6400 =0,09. Die Verlustenergie folgt aus der Differenz estart − eend = 0,21. Dies ist auch der nach (20) erwartete Wert. Es sei daran erinnert, dass beim elastischen Stoß die reduzierte normierte Energie des Repräsentanten des Photons denselben Wert ergibt: 1/n²eT / eK = 63/300 = 0,21.

 Es handelt sich um eine Emission, bei der das anfangs ruhende Teilchen dem späteren Photon zugeordnet wird. Der Kehrwert 1,3443 von pT ist proportional zur Länge der Materiewelle von de Broglie. Beim Übergang Lyman weist diese dimensionslose Größe völlig unerwartet den Wert 0,52913 

auf, der bei relativistischer Rechnung noch genauer mit dem in AE gemessenen Wert übereinstimmt.

 Es wird der eindimensionale Zweiteilchenstoß beschrieben. Es wird gezeigt, wie man zu Spektralserien und zur Rydberg-Energie gelangt. Die eindimensionale Beschreibung ist kein Mangel sondern ein Zeichen dafür, dass ganz wenige Voraussetzungen erforderlich sind. Folgende Merkmale sind zu nennen:

Nicht gebraucht werden die Namen: • Bohr und sein Atommodell • Planck und seine Konstante h • Schrödingergleichung, Wellenfunktion

Nicht gebraucht werden folgende physikalische Begriffe: • Rotation, Drehimpuls, Anziehung und Abstoßung • Potentielle Energie, Beschleunigung, Kraftbegriff • Elektronenübergang, da das Elektron nicht übergeht • Aufenthaltswahrscheinlichkeit, Unschärferelation • Eigenwerte, da keine DGL vorhanden, Felder und Wellen

Nicht gebraucht werden folgende mathematische Begriffe: • Vierervektor, Infinitesimalrechnung • Imaginäre oder komplexe Zahlen • krumme Zahlen, die nicht auf ganze Zahlen zurückführbar sind, außer Naturkonstanten

Gebraucht werden: • Physik des geraden elastischen oder unelastischen Stoßes • Stoßdynamik, kinetische Energie, Impulsbegriff • die Feinstrukturkonstante von Sommerfeld • relativistischer Massebegriff, Zeitbegriff nur als Zeitpfeil • Längenbegriff nur als Impulslänge • Stoß-Bezugssysteme Laborsystem und Schwerpunksystem • eine Präzisierung des Quasipartikels des Photons • eine atomare Ausnahmeregel zu einer reversiblen Verlustenergie

 

Beim Übergang Lyman weist diese dimensionslose Größe (erwartet) den Wert 0,52913 = auf. Der Wert pT = 0,74386 ist eine bedeutsame Größe bei der Fundamentalserie des Heliums [3]. Insgesamt können die Stoßergebnisse nur mit einer relativistischen Mechanik erklärt werden.

 


 

 

 

 

 Fortsetzung und Gesamtdarstellung  - - - -     Hier 

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aus Wikipedia (Juli-Sept. 2009)

Rydberg-Energie    ER

 

Die Rydberg-Energie, auch als Bindungsenergie des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoffatoms bezeichnet, hat den Wert 13,6051413843 eV. Arnold Sommerfeld hatte die Größen der Rydberg-Energie sinngemäß zur Feinstrukturkonstante α zusammengefasst. Er hatte α =v/c als eine spezielle relative Geschwindigkeit des bewegten Elektrons interpretiert. Mit E=mc² und mit M=∞ erhält man alternativ dieselbe Rydberg-Energie.

Eine Erklärung der mechanischen Rydberg-Energie mit dem Zweiteilchenstoß wurde von Manfred H. Kunz gegeben. Der eindimensionale elastische oder unelastische Stoß, der zur mechanischen Rydberg-Formel führt, ergibt das Massenäquivalent der Energie ER / c2. Interpretiert man dies als separate relativistische Masse, so wird die Atombindung zu 100 % ein relativistischer Effekt. Eine Anregung bis an die Ionisierungsgrenze bedeutet einen Stoß eines Quasipartikels der Bindung µ mit einem gleich großen Quasipartikel des Photons. Dessen Energie äußert sich beim unelastischen Stoß als Verlustenergie. Die relativistische Gesamtmasse müsste um den Faktor 1,000039936920452 größer sein und übrigens müsste auch der obige eV-Wert aus Gründen einer genauen wechselseitigen Umrechnung um den Faktor 1,00004046699 höher liegen. Die Rydberg-Energie beinhaltet als Masse nur das erste Glied der Taylorreihenentwicklung des Lorentzfaktors. Die höheren Glieder der Massenzunahme sind (eindimensional zu einem Drittel) genau zurückzuführen auf den Unterschied zwischen Schwerpunktsystem und Laborsystem, die beide durch die Energie-Impuls-Beziehung verbunden sind.  Das Bindungs-Quasipartikel ist letztlich aus den beiden entgegengesetzten Ladungen der Bindungspartner hervorgegangen. Konkret aber ist es die relativistische Zusatzmasse, die aus der Sommerfeld-Geschwindigkeit und der reduzierten Masse als Ruhmasse entsteht. Diese kinetische Energie hat für das Elektron bei M=∞ den Wert

mit α als Lorentzfaktor und entspricht der Ionisierungsenergie 2,42553154438-35 kg oder 13,6062353587 eV. Im Einzelnen wird jedes Glied der Taylorreihe als ein Quasipartikel der Sommerfeldschen Feinstruktur aufgefasst, so z.B. das zweite Glied 3/8 α4 mit 9,686826 E-40 kg oder 5,4339114E-4 eV oder 2,28167481473E-3 m. Für das neunte Glied erhält man entsprechend ein Quasipartikel von 5,8175E-70 kg oder 3,2634E-34 eV oder einer Ausdehnung von 401,6 Mrd. Lichtjahren. Gemäß dieser eindimensionalen Sichtweise ist eine Spektrallinie nicht wesentlich als Differenz zweier Atomniveaus anzusehen, sondern als ein Quasipartikel, welches selbst die Spektrallinie verkörpert. Das Quasipartikel des Photons korrespondiert mit der elektromagnetischen Welle des Photons. Je nachdem, ob Emission oder Absorption vorliegt, wird das zugeordnete Quasiteilchen im Laborsystem entweder aus dem Ruhezustand entfernt oder in den Ruhezustand versetzt. Verwendet man den unelastischen Stoß, so wird im ersteren Fall dieses Quasipartikel des Photons als Verlustenergie emittiert.

 In der Rydberg-Konstante für spektrale Übergänge wird die Rydberg-Energie verwendet, wobei Quantenzahl, Kernmasse und Kernladung einbezogen werden. Bei der reduzierte Masse m muss wegen der Verankerung von me in der Formel alles relativ zu me formuliert werden, so lautet m z.B. bei dem exotischen Atom Protonium ½ 1836.

Die Rydberg-Konstante, auch als Ionisierungsenergie des Wasserstoffs bezeichnet, wird mit 13,605 6923 eV angegeben. Dieser Wert kann vermutlich trotz der obigen Widersprüche präzisiert werden, indem man die klassische Rydberg-Energie 13,60514138430 eV mit 1,000039940288 multipliziert und so zum Wert 13,605684777577 eV gelangt, welcher nach dem Modell vom Zweiteilchenstoß als relativistische Rydberg-Energie bezeichnet wird. Der Faktor ergibt sich als Verhältnis zwischen relativistischer und klassischer Energie aus (γ − 1) * 2 / α2 mit g als Lorentzfaktor und mit α als Feinstrukturkonstante.

 

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Literatur

[1] Kunz, M. Schutzrecht DD 229234, Analogie-Vorrichtung eines binären Informationsspeichers für Strahlenenergie-Umwandlung WP G09 B 23/268 8038 (1984-10-29) http://www.kunz-consult.com/30.html

 

[2] Kunz, M.: Gesetze beim Übergang von der Mechanik zum Atomaren - In: Synergie Syntropie Nichtlineare Systeme, Leipziger Universitätsverlag GmbH (2008) 7 S. 128-137 http://www.kunz-consult.com/10.html

 

[3] Kunz, M. und Grebe, B. Five surprises regarding the classic mechanics of abstract billiard ball impact for the relativistic spectral series of He, He+ und H - In: Nordmeier, V. ; Grötzebauch, H. (Hrsg.): Didaktik der Physik - Berlin 2008, Berlin: Lehmanns Media (2009)

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